2 Mathematische Grundlagen

Das Programm wird in großem Umfang von mathematischen Laien genutzt, darunter Künstler, Pädagogen, Physiker, Chemiker sowie Ausstellungsbesucher und Privatanwender mit diversen Hintergründen. Da einige der hier dargestellten Verfahren für dieses breite Publikum interessant, mitunter auch fachlich relevant sein dürften, wurde der nachfolgende Text entsprechend gestaltet. Auf allzu umfangreiche Formalismen wurde bewusst verzichtet, und stattdessen soweit möglich allgemein verständlichen Formulierungen der Vorzug gegeben. Der mathematisch gebildetere Leser möge dies verzeihen.

2.1 Definitionen

Zunächst soll hier die begriffliche Grundlage gelegt werden für die weitere Arbeit. Als Erstes zum Begriff Symmetrie: Im alltäglichen Sprachgebrauch denkt man bei Symmetrie meist an Spiegelsymmetrie. Das ist eine sehr eingeschränkte Auffassung dieses Begriffs. Als entgegengesetztes Extrem kann man die sehr weite Auslegung von Hermann Weyl anführen:

Symmetrisch ist ein Gebilde dann, wenn man es irgendwie verändern kann und im Ergebnis dasselbe erhält, womit man begonnen hat.[19]

In der vorliegenden Arbeit beschränken wir uns bei den Gebilden auf Muster und Objekte in der Zeichenfläche, und bei den Veränderungen auf Abbildungen, die die Form von Objekten nicht verändern. Während sie also Position, Ausrichtung und Drehsinn ändern können, bleiben Längen und Winkel unverändert (invariant). Die Invarianz der Längen alleine reicht als beschreibende Eigenschaft, da die Invarianz der Winkel daraus folgt.

Definition 1 (Isometrie): Eine Isometrie ist eine längenerhaltende Abbildung.

Andere Namen für diese Abbildungen sind Kongruenzabbildung, Kongruenzbewegung oder einfach nur Bewegung. Bisweilen werden diese Abbildungen auch als Symmetrien bezeichnet, wobei es hier auf eine passende Auffassung des Symmetriebegriffes ankommt.

Das Maß, bezüglich dem Längen gemessen werden, soll im Weiteren das ganz gewöhnliche euklidische Längenmaß sein, wenngleich sich auch mit anderen Metriken, wie beispielsweise hyperbolischer Maßbestimmung, symmetrische Ornamente definieren und erzeugen lassen. In Abschnitt 10.2 wird ein kleiner Ausblick auf diese Thematik gegeben.

Der Raum, auf dem die Abbildungen operieren, sei die gewöhnliche, unendlich große, zweidimensionale Ebene. Auch auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten oder in höheren Dimensionen lassen sich Ornamente beschreiben, diese sind jedoch nicht Thema dieser Arbeit. Wir beschränken uns also auf die euklidische Ebene.

Formal wird die Anwendung einer Abbildung g auf einen Punkt p der Ebene als gp geschrieben. Das Ergebnis ist wieder ein Punkt der Ebene. Werden zwei Abbildungen hintereinander auf p angewandt, erst g und dann h, so schreibt man dies als h gp . Dies kann man als h g p auffassen, also die Anwendung von h auf das Ergebnis von gp . Andererseits kann man dies auch als h g p lesen, also die Anwendung einer kombinierten Operation hg auf einen Punkt p. Man beachte, dass bei dieser Schreibweise die zuerst ausgeführte Operation immer rechts steht. Die Hintereinanderausführung von Operationen wird auch als Verkettung bezeichnet. Zu jeder Isometrie existiert eine Umkehrabbildung, auch als inverse Abbildung bezeichnet. Die zu einer Abbildung g inverse Abbildung wird als g-1 geschrieben.

In der euklidischen Geometrie der Ebene gibt es vier verschiedene Arten von Isometrien, die auch in Abbildung 3 dargestellt sind.

Translation Rotation Reflexion Gleitspiegelung

(a) Translation

(b) Rotation

(c) Reflexion

(d) Gleitspiegelung

Abbildung 3: Die vier Symmetriearten

Translation
ist die Verschiebung in eine bestimmte Richtung um eine vorgegebene Distanz.
Rotation
ist die Drehung um einen bestimmten Punkt (das Drehzentrum) um einen gegebenen Winkel.
Reflexion
ist die Spiegelung an einer Spiegelachse.
Gleitspiegelung
ist eine Kombination aus Translation und Reflexion, bei der die Spiegelachse parallel zur Verschiebungsrichtung liegt.

Ein Sonderfall ist die Identität, auch identische Abbildung genannt. Dies ist die Abbildung, die jeden Punkt auf sich selbst abbildet und daher das Muster unverändert lässt. Da man sie auch als Rotation um 0° oder als Translation um die Distanz 0 auffassen kann, lässt sie sich keiner der genannten vier Kategorien eindeutig zuordnen. Mitunter wird die Identität als Rotation um 360° beschrieben.

Bei den Rotationen sind vor allem die Rotationen um Winkel 2 πn mit ganzzahligem n von Bedeutung. Bei diesen kommt man nach Hintereinanderausführung von n gleichen Drehungen wieder bei der ursprünglichen Lage an. Man spricht von einer n‑zähligen Drehung. Eine zweizählige Drehung, also eine Drehung um 180°, wird auch als Punktspiegelung bezeichnet.

Wenden wir nun eine Abbildung auf ein gegebenes Muster an, bilden also jeden Punkt des Musters entsprechend der Abbildungsvorschrift ab, so entsteht dadurch das Bild des Musters. In bestimmten Fällen ist dieses Bild mit dem ursprünglichen Muster identisch. Dann passt die Abbildung in gewisser Weise zum Muster. Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft wird als Automorphismus bezeichnet.

Definition 2 (Automorphismus): Ein Automorphismus ist eine strukturerhaltende bijektive Abbildung (Isomorphismus) eines Objektes auf sich selbst.

Definition 3 (Symmetriegruppe): Die Menge aller Isometrien, die Automorphismen eines Musters sind, bilden mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation die Symmetriegruppe dieses Musters.

Ein symmetrisches Ornament

Abbildung 4: Ein symmetrisches Ornament

Anschaulich gesprochen ist die Symmetriegruppe eines Musters die Menge all jener Kongruenzabbildungen, die das Muster als ganzes unverändert lassen. Nehmen wir als Beispiel das Ornament aus Abbildung 4. Die Symmetriegruppe dieses Ornaments besteht aus acht Elementen: aus der Identität, drei Rotationen um Winkel 90°, 180° und 270° sowie insgesamt vier Spiegelungen an einer horizontalen, einer vertikalen und zwei diagonalen Achsen.

Die Symmetriegruppe G eines Musters ist eine Gruppe im Mathematischen Sinne. Dies bedeutet im Einzelnen:

  1. Die Identität ist Element jeder Symmetriegruppe.

    idG
  2. Für jede Abbildung der Symmetriegruppe ist die zugehörige Umkehrabbildung auch ein Element der Symmetriegruppe.

    gG g -1 G
  3. Die Verkettung zweier Abbildungen der Symmetriegruppe ist selbst auch wieder ein Element der Symmetriegruppe.

    g,h G g hG
  4. Die Verkettung von Abbildungen ist assoziativ.

    a,b,c G ab c= ab c

Der dritte Punkt bedeutet insbesondere, dass von einigen wenigen Symmetrieoperationen eine unendliche Menge von Symmetrien generiert werden kann. So entsteht aus zwei parallelen Spiegelachsen beispielsweise eine Verschiebung, und durch mehrmalige Ausführung dieser Verschiebung unendlich viele Verschiebungen in die gleiche Richtung.

Definition 4 (Generator): Eine (endliche oder unendliche) Menge g1 g2 von Elementen generiert eine Gruppe G, wenn G die kleinste mathematische Gruppe ist, die diese Elemente enthält.

Dazu werden zu den Generatorelementen deren Inverse hinzugenommen und anschließend alle möglichen Kombinationen dieser Elemente mit einander gebildet.

Bisher waren wir von einem gegebenen Muster ausgegangen, und haben dessen Symmetriegruppe analysiert. Umgekehrt kann man auch die Symmetriegruppe vorgeben. Wendet man alle Abbildungen dieser Gruppe auf eine beliebige Punktemenge an, so bildet die Menge aller dadurch entstehenden Bildpunkte ein Muster. Alle ursprünglich vorgegebenen Isometrien sind zwangsläufig Automorphismen des so entstandenen Musters. Deshalb ist die Symmetriegruppe dieses Musters entweder die ursprünglich vorgegebene Symmetriegruppe, oder aber eine Obergruppe derselben.

Definition 5 (Orbit): Die Menge Gp = gp |g G aller Bilder eines Punktes p unter den Elementen der Gruppe G wird als Orbit von p unter G bezeichnet.

Der Orbit Gp ist unabhängig davon, welches seiner Elemente man als Ausgangspunkt p nimmt. Diese Eigenschaft ergibt sich aus den oben dargestellten Gruppenaxiomen. Als Folge daraus stellen die Orbits Äquivalenzklassen der Ebene dar: jeder Punkt gehört zu genau einer dieser Klassen. Der Orbit einer Punktemenge ist die Vereinigung der Orbits aller Punkte der Menge.

Wenn man aufs Geratewohl einige Abbildungen vorgibt, und die dadurch generierte Gruppe als Symmetriegruppe für ein Muster verwenden will, wird man dabei häufig eher langweilige Gruppen erhalten, bei denen sich Bildpunkte beliebig nah aneinander drängen und somit nicht mehr einzeln erkennbar sind.

Definition 6 (Häufungspunkt): Ein Punkt h der Ebene heißt Häufungspunkt einer Punktemenge M, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung um h mindestens ein von h verschiedener Punkt aus M liegt. Formal ausgedrückt:

ε>0 pM: p- h ε ph

Aus der Definition folgt automatisch, dass in jeder Umgebung um einen Häufungspunkt unendlich viele Punkte p liegen müssen. Andernfalls könnte man ε kleiner als den Abstand zum nächstgelegenen Punkt wählen, um eine leere Umgebung zu erhalten, was der Definition des Häufungspunktes widerspräche. Das Konzept der Häufungspunkte kann nun verwendet werden, um sinnvolle Abbildungsgruppen zu definieren.

Definition 7 (diskrete Gruppe): Eine Gruppe von Abbildungen heißt diskret, wenn kein Orbit eines Punktes unter dieser Gruppe einen Häufungspunkt hat.

diskrete Symmetriegruppe nicht diskrete Symmetriegruppe

(a) Eine diskrete Symmetriegruppe,
erzeugt von einer Rotation um 611 π

(b) Eine nicht diskrete Symmetriegruppe,
erzeugt von einer Rotation um 611

Abbildung 5: Diskrete und nicht diskrete Symmetriegruppen

Die Bedeutung diskreter Gruppen ist in Abbildung 5 illustriert: Nur bei diesen sind die Bilder eines Punktes klar von einander getrennt, da es sowohl für Translationsentfernungen als auch für Drehwinkel eine untere Schranke gibt, diese also nicht beliebig klein werden können. In der weiteren Betrachtung wollen wir uns auf diskrete Gruppen beschränken.

Wendet man auf ein Muster eine Isometrie a an, die nicht Element der Symmetriegruppe dieses Musters ist, so hat das Bild des Musters eine Symmetriegruppe, die etwas andere Abbildungen enthält. Jeder Abbildung g in der ursprünglichen Symmetriegruppe entspricht eine Abbildung ag a-1 in der Symmetriegruppe des Bildmusters. Aus einer Rotation um einen Punkt wird beispielsweise eine Rotation um einen anderen Punkt. Die Struktur der Gruppe bleibt durch diese Konjugation jedoch erhalten, die Rotation bleibt beispielsweise eine Rotation mit dem gleichen Drehwinkel. Um die Struktur zu erhalten muss a noch nicht einmal zwingend eine Isometrie sein, sondern darf eine beliebige affine Abbildung sein, so lange die Elemente ag a-1 wieder Isometrien sind. Auf affine Abbildungen wird später genauer eingegangen.

Definition 8 (Äquivalente Gruppen): Zwei Symmetriegruppen G und H sind äquivalent, wenn es eine affine Abbildung a gibt, so dass g g G a g a .

Dieser Begriff äquivalenter Gruppen ist eng verwandt mit dem Begriff der Gruppenisomorphismen. Während diese jedoch keinerlei geometrische Interpretation haben und daher potentiell Translationen mit Rotationen vertauschen oder dergleichen, erhält die eben definierte Äquivalenzrelation die Kategorien der Abbildungen und damit die geometrische Interpretation.

Definition 9 (Struktur): Die Struktur einer Symmetriegruppe sind diejenigen Eigenschaften, die allen äquivalenten Gruppen gemeinsam sind.

Wenn Symmetriegruppen mit einem Namen bezeichnet werden, so ist dabei im Allgemeinen nur die Struktur der Gruppe von Bedeutung, nicht die genaue Definition jeder einzelnen Abbildung. Aus diesem Grund bezeichnen im folgenden Text Gruppennamen immer jeweils eine ganze Klasse von äquivalenten Gruppen.

2.2 Formulierung von Transformationen

Zur Darstellung von Punkten in der Ebene werden kartesische Koordinaten eingesetzt. Man arbeitet dann mit Vektoren der Form x y . Eine Verschiebung um t x in x‑Richtung sowie um t y in y‑Richtung hat die folgende Form:

x y x tx y ty x y tx ty

Eine Drehung um den Ursprung um einen Winkel α lässt sich schreiben als:

x y α x α y α x α y α α α α x y

Eine Spiegelung an der x‑Achse lässt sich so formulieren:

x y x y 1 0 0 -1 x y

Die unterschiedliche Notation dieser Operationen kann man vermeiden, indem man homogene Koordinaten verwendet. Dazu wird eine dritte Vektorkomponente hinzugenommen, die immer den Wert 1 beibehält. Die drei oben beschriebenen Operationen nehmen damit die folgende Form an:

x y 1 x tx y ty 1 1 0 tx 0 1 ty 0 0 1 x y 1 x y 1 α x α y α x α y 1 α α 0 α α 0 0 0 1 x y 1 x y 1 x y 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 x y 1