Fakultät für Informatik
der Technischen Universität München

Diplomarbeit in Informatik

Computergestütztes Zeichnen
in den Symmetriegruppen
der euklidischen Ebene

Bearbeiter:Martin Franz Stephan Freiherr von Gagern
Aufgabensteller: Professor Tobias Nipkow &
Professor Jürgen Richter-Gebert
Betreuer:Professor Jürgen Richter-Gebert
Abgabedatum:15. Februar 2008

Zusammenfassung

Diese Diplomarbeit behandelt die theoretischen und praktischen Grundlagen eines Computerprogramms zum Zeichnen von Ornamenten in den Symmetriegruppen der euklidischen Ebene. Es werden Konzepte zur Berechnung von Orbits sowie zur effizienten Darstellung von Mustern mittels überlappender Puffer erläutert. Die Verwendung von Voronoi-Polygonen als vom Benutzer verformbare Fundamentalbereiche wird motiviert und ein Verfahren zu deren Berechnung beschrieben. Es folgt eine Diskussion unterschiedlicher Ansätze zum Export von Ornamenten in verschiedenen Formaten. Außerdem werden Schritte zur Erkennung der Symmetriegruppen von periodischen Mustern aus externem Bildmaterial dargestellt, basierend auf Autokorrelation sowie der Berechnung von Dominanzgebieten.

Inhaltsverzeichnis

Einführung

  1. Einleitung

    1. Benutzersicht

    2. Entwicklung

    3. Vergleiche

  2. Mathematische Grundlagen

    1. Definitionen

    2. Formulierung von Transformationen

  3. Klassifikation von Symmetriegruppen

    1. Rosettengruppen

    2. Friesgruppen

    3. Kristallographische Gruppen

Konzepte der Implementierung

  1. Berechnung von Orbits

    1. Transformation in Hilfskoordinaten

    2. Wechsel der Translationszelle

    3. Anwenden innerer Symmetrien

    4. Anwenden der Translationen

    5. Rücktransformation

    6. Zusammenfassung

  2. Darstellung auf dem Bildschirm

    1. Verwendung rechteckliger Puffer

    2. Bestimmung von Überdeckungen

  3. Bestimmung von Fundamentalbereichen

    1. Verschiedene Fundamentalbereiche

    2. Voronoi-Polygone als Fundamentalbereiche

    3. Algorithmische Bestimmung der Voronoi-Polygone

      1. Schranke für den Einflussbereich

      2. Berechnung der Polygone

  4. Export der Zeichnungen

    1. Vektorformate

      1. Portable Document Format (PDF)

      2. Scaleable Vector Graphics (SVG)

      3. PostScript

    2. Rasterformate

    3. Unterschiedliche Export-Medien

  5. Automatische Mustererkennung

    1. Autokorrelation

    2. Peaks

    3. Gittervektoren

    4. Drehzentren

    5. Spiegelungen

    6. Hintergrundbild

Anwendung und Ausblick

  1. Einsatzmöglichkeiten

    1. Einsatz in der Lehre

      1. Grundschule

      2. Sekundarstufe

      3. Hochschule

    2. Professioneller Einsatz

    3. Heimgebrauch

    4. Ausstellungen

  2. Ausblick

    1. Weiterentwicklung

    2. Folgeprojekte

  3. Verzeichnisse

    1. Literatur

    2. Definitionen

    3. Abbildungsverzeichnis

    4. Tabellenverzeichnis

    5. Index

Anhang

  1. Beispielornamente

    1. Rosettengruppen

    2. Friesgruppen

    3. Kristallographische Gruppen